Teori lempeng

Dalam mekanika kontinum , teori lempeng adalah deskripsi matematis dari mekanisme pelat datar yang mengacu pada teori balok . Pelat didefinisikan sebagai pesawat elemen struktur dengan ketebalan kecil dibandingkan dengan dimensi planar. ^[1] Ketebalan khas terhadap lebar struktur pelat kurang dari 0,1. Sebuah teori pelat mengambil keuntungan dari perbedaan ini dalam skala panjang untuk mengurangi tiga-dimensi penuh mekanika padat masalah untuk masalah dua dimensi. Tujuan dari teori lempeng adalah untuk menghitung deformasi dan tekanan dalam piring dikenai beban.

Dari berbagai teori piring yang telah dikembangkan sejak akhir abad ke-19, dua diterima secara luas dan digunakan dalam rekayasa. Ini adalah

the Kirchhoff - Cinta teori lempeng (plate teori klasik)
The Mindlin - Reissner teori lempeng (orde pertama teori pelat geser
Teori Kirchhoff-Cinta untuk pelat tipis

The Kirchhoff - Cinta teori merupakan perpanjangan dari Euler-Bernoulli teori balok untuk pelat tipis. Teori ini dikembangkan pada tahun 1888 oleh Cinta ^[2] menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff. Hal ini diasumsikan bahwa pesawat tengah permukaan dapat digunakan untuk mewakili pelat tiga dimensi dalam bentuk dua dimensi.
Asumsi kinematik berikut yang dibuat dalam teori ini: ^[3]
garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah deformasi
garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal sampai pertengahan-permukaan setelah deformasi
ketebalan plat tidak berubah selama deformasi
Bidang perpindahan

inat pada pertengahan permukaan pelat pelat badan kaku, $x_3$ adalah koordinat untuk arah ketebalan, $u ^ 0_1, u ^ 0_2$ adalah perpindahan dalam bidang pertengahan permukaan, dan $w ^ 0$ adalah perpindahan dari pertengahan permukaan di $x_3$ arah.
Jika $\ Varphi_ \ alpha$ adalah sudut rotasi yang normal sampai pertengahan-permukaan, maka dalam teori Kirchhoff-Love $\ Varphi_ \ alpha = w ^ 0_ {, \ alpha} \,.$

Perpindahan dari pertengahan permukaan (kiri) dan normal (kanan)

Hubungan regangan-perpindahan
Untuk situasi di mana strain di piring yang sangat kecil dan rotasi normals pertengahan permukaan kurang dari 10 $^ \ CIRC$ dengan strain-perpindahan hubungan yang

$\ Begin {} menyelaraskan \ varepsilon_ {\ alpha \ beta} & = \ tfrac {1} {2} (u ^ 0_ {\ alpha, \ beta} + u ^ 0_ {\ beta, \ alpha}) - x_3 ~ w ^ 0_ {, \ alpha \ beta} \ \ \ varepsilon_ {\ alpha} 3 & = - w ^ 0_ {, \ alpha} + {w ^ 0_, \ alpha} = 0 \ \ \ varepsilon_ {33} & = 0 \ end {} menyelaraskan$
Oleh karena itu satu-satunya strain non-nol berada di arah in-plane.
Jika rotasi normals ke pertengahan permukaan berada dalam kisaran 10 $~ ^ {\ CIRC}$ 15 $^ \ CIRC$ , Hubungan regangan-perpindahan dapat didekati dengan menggunakan von Karman strain. Kemudian asumsi kinematik teori Kirchhoff-Love mengarah pada hubungan regangan-perpindahan berikut

$\ Begin {} menyelaraskan \ varepsilon_ {\ alpha \ beta} & = \ frac {1} {2} (u ^ 0_ {\ alpha, \ beta} + u ^ 0_ {\ beta, \ alpha} + {w ^ 0_ , \ alpha} ~ ^ w 0_ {, \ beta}) - x_3 ~ ^ w 0_ {, \ alpha \ beta} \ \ \ varepsilon_ {\ alpha} 3 & = - w ^ 0_ {, \ alpha} + w ^ 0_ {, \ alpha} = 0 \ \ \ varepsilon_ {33} & = 0 \ end {} menyelaraskan$
Teori ini tidak linier karena istilah kuadrat dalam hubungan regangan-perpindahan.

Persamaan Equilibrium
Persamaan kesetimbangan untuk piring dapat diturunkan dari prinsip kerja virtual . Untuk situasi di mana strain dan rotasi piring kecil, persamaan kesetimbangan untuk plat dibongkar diberikan oleh

$\ Begin {} menyelaraskan n_ {\ alpha \ beta, \ alpha} & = 0 \ \ M_ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} & = 0 \ end {} menyelaraskan$
di mana resultan tegangan dan resultants saat stres didefinisikan sebagai

$N_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h \ sigma_ {\ alpha \ beta} ~ ~ dx_3; ~ ~ M_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h x_3 ~ \ sigma_ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$
dan ketebalan pelat adalah $2h$ . Kuantitas $\ Sigma_ {\ alpha \ beta}$ adalah tekanan.
Jika piring dimuat oleh beban didistribusikan eksternal $q (x)$ itu normal untuk pertengahan-permukaan dan diarahkan positif $x_3$ arah, prinsip kerja virtual kemudian mengarah ke persamaan kesetimbangan

$\ Begin {} menyelaraskan n_ {\ alpha \ beta, \ alpha} & = 0 \ \ M_ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} - q & = 0 \ end {} menyelaraskan$

Untuk rotasi moderat, hubungan regangan-perpindahan berbentuk von Karman dan persamaan kesetimbangan dapat dinyatakan sebagai

$\ Begin {} menyelaraskan n_ {\ alpha \ beta, \ alpha} & = 0 \ \ M_ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} + [n_ {\ alpha \ beta} ~ ^ w 0_ {, \ beta} ] _ {\ alpha} - q & = 0 \ end {} menyelaraskan$

Kondisi batas
Kondisi batas yang diperlukan untuk memecahkan persamaan kesetimbangan teori plat dapat diperoleh dari istilah batas dalam prinsip kerja virtual.
Untuk strain kecil dan rotasi kecil, kondisi batas yang

$\ Begin {} menyelaraskan n_ \ alpha ~ n_ {\ alpha \ beta} & \ quad \ mathrm {atau} \ quad u ^ 0_ \ beta \ \ n_ \ alpha ~ M_ {\ alpha \ beta, \ beta} & \ quad \ mathrm {atau} \ quad w ^ 0 \ \ n_ \ beta ~ M_ {\ alpha \ beta} & \ quad \ mathrm {atau} \ quad w ^ 0_ {, \ alpha} \ end {} menyelaraskan$
Perhatikan bahwa kuantitas $n_ \ alpha ~ M_ {\ alpha \ beta, \ beta}$ adalah gaya geser yang efektif.

Hubungan tegangan-regangan
Hubungan tegangan-regangan untuk piring Kirchhoff linear elastis yang diberikan oleh

$\ Begin {bmatrix} \ {11} sigma_ \ \ \ sigma_ {22} \ \ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \ \ C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} \ \ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ {11} varepsilon_ \ \ \ varepsilon_ {22} \ \ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix}$
Karena $\ Sigma_ {\ alpha 3}$ dan $\ Sigma_ {33}$ tidak muncul dalam persamaan kesetimbangan secara implisit diasumsikan bahwa jumlah ini tidak memiliki efek pada keseimbangan momentum dan diabaikan.
Hal ini lebih nyaman untuk bekerja dengan stres dan momen hasil yang masuk persamaan kesetimbangan. Hal ini juga terkait dengan pemindahan oleh

$\ Begin {bmatrix} n_ {11} \ \ n_ {22} \ \ n_ {12} \ end {bmatrix} = \ left \ {\ {int_-h} ^ h \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \ \ C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} \ \ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} \ end {bmatrix} ~ dx_3 \ right \ } \ begin {bmatrix} u ^ 0_ {1,1} \ \ u ^ 0_ {2,2} \ \ \ frac {1} {2} ~ (u ^ 0_ {1,2} + u ^ 0_ {2 , 1}) \ end {bmatrix}$
dan

$\ Begin {bmatrix} M_ {11} \ \ M_ {22} \ \ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ left \ {\ {int_-h} ^ h x_3 ^ 2 ~ \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \ \ C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} \ \ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} \ end {bmatrix} ~ dx_3 \ right \} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 11} \ \ w ^ 0_ {, 22} \ \ w ^ 0_ {, 12} \ end {bmatrix} \,.$
The kekakuan ekstensional adalah jumlah

$A_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h C_ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$
The kekakuan lentur (juga disebut kekakuan lentur) adalah jumlah

$D_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h x_3 ^ 2 ~ C_ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$

Piring Kirchhoff isotropik dan homogen

Artikel utama: Kirchhoff-Love teori pelat
Untuk pelat isotropik dan homogen, hubungan tegangan-regangan adalah

$\ Begin {bmatrix} \ {11} sigma_ \ \ \ sigma_ {22} \ \ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {E} {1 - \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \ \ \ nu & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 - \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ {11} varepsilon_ \ \ \ varepsilon_ {22} \ \ \ varepsilon_ {12 } \ end {bmatrix} \,.$
Saat-saat yang sesuai dengan tegangan ini

$\ Begin {bmatrix} M_ {11} \ \ M_ {22} \ \ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1 - \ nu ^ 2)} ~ \ begin { bmatrix} 1 & \ nu & 0 \ \ \ nu & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 - \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 11} \ \ w ^ 0_ {, 22} \ \ w ^ 0_ {, 12} \ end {bmatrix}$

Lentur murni
Pemindahan $u ^ 0_1$ dan $u ^ 0_2$ adalah nol bawah lentur murni kondisi. Untuk isotropik, homogen pelat bawah murni lentur persamaan yang mengatur adalah

$\ Frac {\ partial ^ 4 w} {\ x_1 parsial ^ 4} + 2 \ frac {\ partial ^ 4 w} {\ x_1 parsial ^ 2 \ x_2 parsial ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 4 w} { \ x_2 parsial ^ 4} = 0 \ quad \ text {} di mana \ quad w: w = ^ 0 \,.$
Dalam notasi indeks,

$w ^ 0_ {, 1111} + 2 ~ ^ w 0_ {, 1212} + {w ^ 0_, 2222} = 0 \,.$
Dalam notasi tensor langsung, persamaan yang mengatur adalah

$\ Nabla ^ 2 \ nabla ^ 2 w = 0 \,.$

Pembebanan transversal
Untuk piring melintang dimuat tanpa deformasi aksial, persamaan yang mengatur memiliki bentuk

$\ Frac {\ partial ^ 4 w} {\ x_1 parsial ^ 4} + 2 \ frac {\ partial ^ 4 w} {\ x_1 parsial ^ 2 \ x_2 parsial ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 4 w} { \ x_2 parsial ^ 4} = - \ frac {q} {D}$
dimana

$D: = \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1 - \ nu ^ 2)} \,.$
Dalam notasi indeks,

$w ^ 0_ {, 1111} + 2 \, w ^ 0_ {, 1212} + {w ^ 0_, 2222} = - \ frac {q} {D}$
dan dalam notasi langsung

$\ Nabla ^ 2 \ nabla ^ 2 w = - \ frac {q} {D} \,.$

Dalam koordinat silinder $(R, \ theta, z)$ , Persamaan yang mengatur adalah

$\ Frac {1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left [r \ cfrac {d} {dr} \ left \ {\ frac {1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left (r \ cfrac {} {} dw dr \ right) \ right \} \ right] = - \ frac {q} {D} \,.$

Piring Kirchhoff orthotropic dan homogen
Untuk orthotropic plate

$\ Begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \ \ C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} \ \ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33 } \ end {bmatrix} = \ cfrac {1} {1 - \ nu_ {12} \ nu_ {21}} \ begin {bmatrix} E_1 & \ nu_ {12} E_2 & 0 \ \ \ nu_ {21} E_1 & E_2 & 0 \ \ 0 & 0 & 2G_ {12} (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_) \ end {bmatrix} \,.$
Oleh karena itu,

$\ Begin {bmatrix} A_ {} 11 & A_ {} 12 & A_ {} 13 \ \ A_ {} 21 & A_ {} 22 & A_ {} 23 \ \ A_ {} 31 & A_ {} 32 & A_ {33 } \ end {bmatrix} = \ cfrac {2h} {1 - \ nu_ {12} \ nu_ {21}} \ begin {bmatrix} E_1 & \ nu_ {12} E_2 & 0 \ \ \ nu_ {21} E_1 & E_2 & 0 \ \ 0 & 0 & 2G_ {12} (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_) \ end {bmatrix}$
dan

$\ Begin {bmatrix} D_ {11} & D_ {12} & D_ {13} \ \ D_ {21} & D_ {22} & D_ {23} \ \ D_ {31} & D_ {32} & D_ {33 } \ end {bmatrix} = \ cfrac {2h ^ 3} {3 (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_)} \ begin {bmatrix} E_1 & \ nu_ {12} E_2 & 0 \ \ \ nu_ {21} E_1 & E_2 & 0 \ \ 0 & 0 & 2G_ {12} (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_) \ end {bmatrix} \,.$

Pembebanan transversal
Persamaan yang mengatur piring Kirchhoff orthotropic dimuat melintang oleh beban didistribusikan $q$ per satuan luas adalah

$D_x w ^ 0_ {, 1111} + 2 D_ {xy} w ^ 0_ {, 1122} + D_y w ^ 0_ {, 2222} =-q$
dimana

$\ Begin {} menyelaraskan D_x & = D_ {11} = \ frac {2h ^ 3 E_1} {3 (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_)} \ \ D_y & = D_ {22} = \ frac {2h ^ 3 E_2} {3 (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_)} \ \ D_ {xy} & = D_ {33} + \ tfrac {1} {2} (\ nu_ {21} D_ {11} + \ nu_ {12} {22} D_) = D_ {33} + \ nu_ {21} {11} D_ = \ frac {4h ^ 3 G_ {12}} {3} + \ frac {2h ^ 3 \ nu_ {21}} {E_1 3 (1 - \ nu_ {12} \ {21} nu_)} \,. \ End {} menyelaraskan$

Dinamika tipis pelat Kirchhoff

Artikel utama: Kirchhoff-Love teori pelat
Teori dinamis pelat menentukan propagasi gelombang di piring, dan studi gelombang berdiri dan mode getaran.

Persamaan Pemerintahan
Persamaan yang mengatur untuk dinamika piring Kirchhoff-Love adalah

$\ Begin {} menyelaraskan n_ {\ alpha \ beta, \ beta} & = J_1 ~ \ ddot {u} ^ 0_ \ alpha \ \ M_ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} - q (x, t) & = J_1 ~ \ ddot {w} ^ 0 - J_3 ~ \ ddot {w} ^ {0_, \ alpha \ alpha} \ end {} menyelaraskan$

di mana, untuk piring dengan kepadatan $\ Rho = \ rho (x)$ ,

$J_1: = \ int_ {-h} ^ h \ rho ~ dx_3 = 2 ~ \ rho ~ h ~; ~ ~ J_3: = \ int_ {-h} ^ h x_3 ^ 2 ~ \ rho ~ dx_3 = \ frac {2} {3} ~ \ rho ~ h ^ 3$
dan

$\ Dot {u} _i = \ frac {\ u_i parsial} {\ partial t} ~; ~ ~ \ Ddot {u} _i = \ frac {\ partial ^ 2 u_i} {\ partial t ^ 2} ~; ~ ~ U_ {i, \ alpha} = \ frac {\ u_i parsial} {\ partial x_ \ alpha} ~; ~ ~ U_ {i, \ alpha \ beta} = \ frac {\ partial ^ 2 u_i} {\ x_ parsial \ alpha \ parsial x_ \ beta}$
Angka-angka di bawah ini menunjukkan beberapa mode getaran dari piring melingkar.
Modus k = 0, p = 1
Modus k = 1, p = 2

Pelat isotropik

Persamaan yang mengatur menyederhanakan cukup untuk isotropik dan homogen piring yang di-pesawat deformasi dapat diabaikan dan memiliki bentuk

$D \, \ left (\ frac {\ partial ^ 4 w ^ 0} {\ x_1 parsial ^ 4} + 2 \ frac {\ partial ^ 4 w ^ 0} {\ x_1 parsial ^ 2 \ x_2 parsial ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 4 w ^ 0} {\ x_2 parsial ^ 4} \ right) =-q (x_1, x_2, t) - 2 \ rho h \, \ frac {\ partial ^ 2 w ^ 0} { \ parsial t ^ 2} \,.$

dimana $D$ adalah kekakuan lentur dari piring. Untuk piring seragam ketebalan $2h$ ,

$D: = \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1 - \ nu ^ 2)} \,.$

Dalam notasi langsung

$D \, \ nabla ^ 2 \ nabla ^ 2 w ^ 0 =-q (x, y, t) - 2 \ rho h \, \ ddot {w} ^ 0 \,.$

Teori Mindlin-Reissner untuk pelat tebal

Artikel utama: Mindlin-Reissner teori pelat

Catatan: Einstein penjumlahan konvensi penjumlahan pada indeks berulang digunakan di bawah ini.

Dalam teori pelat tebal, atau teori Raymond Mindlin ^[4] dan Eric Reissner , normal sampai pertengahan-permukaan tetap lurus tetapi tidak harus tegak lurus terhadap pertengahan permukaan. Jika $\ Varphi_1$ dan $\ Varphi_2$ menunjuk sudut yang pertengahan permukaan membuat dengan $x_3$ axis kemudian

$\ Varphi_1 \ ne W_ {, 1} ~; ~ ~ \ Varphi_2 \ ne W_ {, 2}$

Maka hipotesis Mindlin-Reissner menyiratkan bahwa

$\ Begin {} menyelaraskan u_ \ alpha (\ mathbf {x}) & = u ^ 0_ \ alpha (x_1, x_2) - x_3 ~ \ varphi_ \ alpha ~; ~ ~ \ Alpha = 1,2 \ \ u_3 (\ mathbf {x}) & = w ^ 0 (x_1, x_2) \ end {} menyelaraskan$

Hubungan regangan-perpindahan

Tergantung pada jumlah rotasi normals pelat dua pendekatan yang berbeda untuk strain dapat diturunkan dari asumsi dasar kinematik.
Untuk strain kecil dan rotasi kecil hubungan regangan-perpindahan untuk pelat Mindlin-Reissner adalah

$\ Begin {} menyelaraskan \ varepsilon_ {\ alpha \ beta} & = \ frac {1} {2} (u ^ 0_ {\ alpha, \ beta} + u ^ 0_ {\ beta, \ alpha}) - \ frac { x_3} {2} ~ (\ varphi_ {\ alpha, \ beta} + \ varphi_ {\ beta, \ alpha}) \ \ \ varepsilon_ {\ alpha} 3 & = \ cfrac {1} {2} \ left (w ^ 0_ {, \ alpha} - \ varphi_ \ alpha \ right) \ \ \ varepsilon_ {33} & = 0 \ end {} menyelaraskan$

Regangan geser, dan karenanya tegangan geser, seluruh tebal pelat tidak diabaikan dalam teori ini. Namun, regangan geser adalah konstan di seluruh tebal pelat. Hal ini tidak dapat akurat karena tegangan geser diketahui parabola bahkan untuk geometri pelat sederhana. Untuk memperhitungkan ketidaktelitian dalam regangan geser, geser faktor koreksi ( $\ Kappa$ ) Diterapkan sehingga jumlah yang benar energi internal yang diprediksi oleh teori. Kemudian

$\ Varepsilon_ {\ alpha 3} = \ cfrac {1} {2} ~ \ kappa ~ \ left (w ^ 0_ {, \ alpha} - \ varphi_ \ alpha \ right)$

Persamaan Equilibrium

Persamaan kesetimbangan memiliki bentuk yang sedikit berbeda tergantung pada jumlah lentur diharapkan piring. Untuk situasi di mana strain dan rotasi piring adalah smallthe persamaan kesetimbangan untuk piring Mindlin-Reissner adalah

$\ Begin {} menyelaraskan & n_ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \ \ & M_ {\ alpha \ beta, \ beta}-Q_ \ alpha = 0 \ \ & Q_ {\ alpha, \ alpha} + q = 0 \,. \ End {} menyelaraskan$

Gaya geser yang dihasilkan dalam persamaan di atas didefinisikan sebagai

$Q_ \ alpha: = \ kappa ~ \ int_ {-h} ^ h \ sigma_ {\ alpha 3} ~ dx_3 \,.$

Kondisi batas

Kondisi batas ditunjukkan oleh ketentuan batas dalam prinsip kerja virtual.
Jika satu-satunya kekuatan eksternal adalah gaya vertikal pada permukaan atas piring, kondisi batas yang

$\ Begin {} menyelaraskan n_ \ alpha ~ n_ {\ alpha \ beta} & \ quad \ mathrm {atau} \ quad u ^ 0_ \ beta \ \ n_ \ alpha ~ M_ {\ alpha \ beta} & \ quad \ mathrm { atau} \ quad \ varphi_ \ alpha \ \ n_ \ alpha ~ Q_ \ alpha & \ quad \ mathrm {atau} \ quad w ^ 0 \ end {} menyelaraskan$

Hubungan konstitutif

Hubungan tegangan-regangan untuk elastis piring Mindlin-Reissner linear yang diberikan oleh

$\ Begin {} menyelaraskan \ sigma_ {\ alpha \ beta} & = C_ {\ alpha \ beta \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon_ {\ gamma \ theta} \ \ \ sigma_ {\ alpha} 3 & = C_ {\ alpha 3 \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon_ {\ gamma \ theta} \ \ \ sigma_ {33} & = C_ {33 \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon_ {\ gamma \ theta} \ end {} menyelaraskan$

Karena $\ Sigma_ {33}$ tidak muncul dalam persamaan kesetimbangan secara implisit diasumsikan bahwa itu tidak memiliki efek pada keseimbangan momentum dan diabaikan. Asumsi ini juga disebut asumsi plane stress. Sisanya hubungan tegangan-regangan untuk bahan orthotropic , dalam bentuk matriks, dapat ditulis sebagai

$\ Begin {bmatrix} \ {11} sigma_ \ \ \ sigma_ {22} \ \ \ sigma_ {23} \ \ \ sigma_ {31} \ \ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 & 0 & 0 \ \ C_ {12} & C_ {22} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & C_ {55} & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ {11} varepsilon_ \ \ \ varepsilon_ {22} \ \ \ varepsilon_ { 23} \ \ \ varepsilon_ {31} \ \ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix}$

Kemudian,

$\ Begin {bmatrix} n_ {11} \ \ n_ {22} \ \ n_ {12} \ end {bmatrix} = \ left \ {\ {int_-h} ^ h \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 \ \ C_ {12} & C_ {22} & 0 \ \ 0 & 0 & C_ {66} \ end {bmatrix} ~ dx_3 \ right \} \ begin {bmatrix} u ^ 0_ {1, 1} \ \ u ^ 0_ {2,2} \ \ \ frac {1} {2} ~ (u ^ 0_ {1,2} + u ^ 0_ {2,1}) \ end {bmatrix}$

dan

$\ Begin {bmatrix} M_ {11} \ \ M_ {22} \ \ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ left \ {\ {int_-h} ^ h x_3 ^ 2 ~ \ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 \ \ C_ {12} & C_ {22} & 0 \ \ 0 & 0 & C_ {66} \ end {bmatrix} ~ dx_3 \ right \} \ begin {bmatrix} \ varphi_ {1,1} \ \ \ varphi_ {2,2} \ \ \ frac {1} {2} ~ (\ varphi_ {1,2} + \ varphi_ {2,1}) \ end {bmatrix}$

Untuk persyaratan geser

$\ Begin {bmatrix} Q_1 \ \ Q_2 \ end {bmatrix} = \ cfrac {\ kappa} {2} \ left \ {\ {int_-h} ^ h \ begin {bmatrix} C_ {55} & 0 \ \ 0 & C_ {44} \ end {bmatrix} ~ dx_3 \ right \} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 1} - \ varphi_1 \ \ w ^ 0_ {, 2} - \ varphi_2 \ end {bmatrix}$

The kekakuan ekstensional adalah jumlah

$A_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h C_ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$

The kekakuan lentur adalah jumlah

$D_ {\ alpha \ beta}: = \ int_ {-h} ^ h x_3 ^ 2 ~ C_ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$

Isotropik dan homogen piring Mindlin-Reissner

Artikel utama: Mindlin-Reissner teori pelat

Untuk seragam tebal, homogen, isotropik dan pelat, hubungan tegangan-regangan pada bidang piring yang

$\ Begin {bmatrix} \ {11} sigma_ \ \ \ sigma_ {22} \ \ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {E} {1 - \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \ \ \ nu & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 - \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ {11} varepsilon_ \ \ \ varepsilon_ {22} \ \ \ varepsilon_ {12 } \ end {bmatrix} \,.$

dimana $E$ adalah modulus Young, $\ Nu$ adalah rasio Poisson, dan $\ Varepsilon_ {\ alpha \ beta}$ adalah strain dalam pesawat. Melalui-the-ketebalan tegangan geser dan strain terkait dengan

$\ Sigma_ {31} = 2G \ varepsilon_ {31} \ quad \ text {Dan} \ quad \ sigma_ {32} = 2G \ varepsilon_ {32}$

dimana $G = E / (2 (1 + \ nu))$ adalah modulus geser .

Hubungan konstitutif

Hubungan antara resultan tegangan dan perpindahan umum untuk pelat Mindlin-Reissner isotropik adalah:

$\ Begin {bmatrix} n_ {11} \ \ n_ {22} \ \ n_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {2EH} {1 - \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \ \ \ nu & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 - \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u ^ 0_ {1,1} \ \ u ^ 0_ {2,2} \ \ \ frac {1} {2} ~ (u ^ 0_ {1,2} + u ^ 0_ {2,1}) \ end {bmatrix} \,,$

$\ Begin {bmatrix} M_ {11} \ \ M_ {22} \ \ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2EH ^ 3} {3 (1 - \ nu ^ 2)} \ begin {bmatrix } 1 & \ nu & 0 \ \ \ nu & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 - \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ {1,1} varphi_ \ \ \ varphi_ {2,2 } \ \ \ frac {1} {2} (\ varphi_ {1,2} + \ varphi_ {2,1}) \ end {bmatrix} \,,$

dan

$\ Begin {bmatrix} Q_1 \ \ Q_2 \ end {bmatrix} = \ kappa G h \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 1} - \ varphi_1 \ \ w ^ 0_ {, 2} - \ varphi_2 \ end {bmatrix } \,.$

The kekakuan lentur didefinisikan sebagai kuantitas

$D = \ cfrac {2EH ^ 3} {3 (1 - \ nu ^ 2)} \,.$

Untuk sepiring ketebalan $h$ , Kekakuan lentur memiliki bentuk

$D = \ cfrac {Eh ^ 3} {12 (1 - \ nu ^ 2)} \,.$

Persamaan Pemerintahan

Jika kita mengabaikan ekstensi di-pesawat piring, persamaan yang mengatur adalah

$\ Begin {} menyelaraskan M_ {\ alpha \ beta, \ beta}-Q_ \ alpha & = 0 \ \ Q_ {\ alpha, \ alpha} + q = 0 & \,. \ End {} menyelaraskan$

Dalam hal deformasi umum $w ^ 0, \ varphi_1, \ varphi_2$ , Tiga persamaan yang mengatur adalah

$\ {MULAI menyelaraskan} & \ nabla ^ 2 \ left (\ frac {\ partial \ varphi_1} {\ x_1 parsial} + \ frac {\ partial \ varphi_2} {\ x_2 parsial} \ right) = - \ frac {q} {D} \ \ & \ nabla ^ 2 w ^ 0 - \ frac {\ partial \ varphi_1} {\ partial} x_1 - \ frac {\ partial \ varphi_2} {\ x_2 parsial} = - \ frac {q} {\ kappa G h} \ \ & \ nabla ^ 2 \ left (\ frac {\ partial \ varphi_1} {\ x_2 parsial} - \ frac {\ partial \ varphi_2} {\ x_1 parsial} \ right) = - \ frac {2 \ kappa G h} {D (1 - \ nu)} \ left (\ frac {\ partial \ varphi_1} {\ x_2 parsial} - \ frac {\ partial \ varphi_2} {\ x_1 parsial} \ right) \,. \ End {} menyelaraskan$

Kondisi batas sepanjang tepi piring persegi panjang adalah

$\ Begin {menyelaraskan} \ text {HANYA didukung} \ quad & \ quad w ^ 0 = 0, M_ {11} = 0 ~ (\ text {} atau ~ M_ {22} = 0), \ varphi_1 = 0 ~ ( \ text {} atau ~ \ varphi_2 = 0) \ \ \ text {dijepit} \ quad & \ quad w ^ 0 = 0, \ varphi_1 = 0, \ varphi_ {2} = 0 \,. \ End {} menyelaraskan$

Teori Reissner-Stein untuk isotropik pelat kantilever

Secara umum, solusi yang tepat untuk plat kantilever menggunakan teori plat cukup terlibat dan solusi yang tepat beberapa dapat ditemukan dalam literatur. Reissner dan Stein ^[5] memberikan teori disederhanakan untuk pelat kantilever yang merupakan perbaikan atas teori-teori yang lebih tua seperti Saint-Venant teori lempeng.
The Reissner-Stein teori mengasumsikan bidang perpindahan melintang dalam bentuk

$w (x, y) = w_x (x) + y \, \ theta_x (x) \,.$

Persamaan yang mengatur untuk piring kemudian mengurangi dua ditambah persamaan diferensial biasa:

$\ Begin {} menyelaraskan & bD \ frac {\ mathrm {d} ^ 4w_x} {\ mathrm {d} x ^ 4} = Q_1 (x) - n_1 (x) \ cfrac {d ^ 2} {dx w_x ^ 2 } - \ cfrac {d} {dx n_1} \, \ cfrac {d} {dx} w_x - \ frac {1} {2} \ cfrac {d} {dx n_2} \, \ cfrac {d \ theta_x} { dx} - \ frac {n_2 (x)} {2} \ cfrac {d ^ 2 \ theta_x} {dx ^ 2} \ \ & \ frac {b ^ 3D} {12} \, \ frac {\ mathrm {d } ^ 4 \ theta_x} {\ mathrm {d} x ^ 4} - 2BD (1 - \ nu) \ cfrac {d ^ 2 \ theta_x} {dx ^ 2} = q_2 (x) - n_3 (x) \ cfrac {d ^ 2 \ theta_x} {dx ^ 2} - \ cfrac {d} {dx n_3} \, \ cfrac {d \ theta_x} {dx} - \ frac {n_2 (x)} {2} \, \ cfrac {d ^ 2} {dx w_x ^ 2} - \ frac {1} {2} \ cfrac {d} {dx n_2} \, \ cfrac {d} {dx} w_x \ end {} menyelaraskan$

dimana

$\ Begin {} menyelaraskan Q_1 (x) & = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} q (x, y) \, \ text {d} y ~, ~ ~ q_2 (x) = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} y \, q (x, y) \, \ text {d} y ~, ~ ~ n_1 (x) = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} n_x (x, y) \, \ text {d} y \ \ n_2 (x) & = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} y \, n_x (x, y) \, \ text {d} y ~, ~ ~ n_3 (x) = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} y ^ 2 \, n_x (x, y) \, \ text {d} y \,. \ End {} menyelaraskan$

Di $x = 0$ , Karena balok dijepit, kondisi batas yang

$w (0, y) = \ cfrac {} {dx dw} \ Bigr | _ {x = 0} = 0 \ qquad \ menyiratkan \ qquad w_x (0) = \ cfrac {d} {dx} w_x \ Bigr | _ {x = 0} = \ theta_x (0) = \ cfrac {d \ theta_x} {dx} \ Bigr | _ {x = 0} = 0 \,.$

Kondisi batas pada $x = a$ adalah

$\ Begin {} menyelaraskan & bD \ cfrac {d ^ 3 w_x} {dx ^ 3} + n_1 (x) \ cfrac {d} {dx} + w_x n_2 (x) \ cfrac {d \ theta_x} {dx} + Q_ {x1} = 0 \ \ & \ frac {b ^ 3D} {12} \ cfrac {d ^ 3 \ theta_x} {dx ^ 3} + \ left [n_3 (x)-2BD (1 - \ nu) \ kanari] \ cfrac {d \ theta_x} {dx} + n_2 (x) \ cfrac {d} {dx} + w_x t = 0 \ \ & bD \ cfrac {d ^ 2} {dx w_x ^ 2} + m_1 = 0 \ quad, \ quad \ frac {b ^ 3D} {12} \ cfrac {d ^ 2 \ theta_x} {dx ^ 2} + m_2 = 0 \ end {} menyelaraskan$

dimana

$\ Begin {} menyelaraskan m_1 & = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} m_x (y) \, \ text {d} y ~, ~ ~ m_2 = \ int_ {-b / 2} ^ { b / 2} y \, m_x (y) \, \ text {d} y ~, ~ ~ Q_ {x1} = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} q_x (y) \, \ text {d} y \ \ t & = Q_ {x2} + m_3 = \ int_ {-b / 2} ^ {b / 2} y \, q_x (y) \, \ text {d} y + \ int_ {- b / 2} ^ {b / 2} m_ {xy} (y) \, \ text {d} y \,. \ End {} menyelaraskan$

[ acara ] Penurunan Reissner-Stein persamaan plat kantilever

Referensi

Timoshenko, S. dan Woinowsky-Krieger, S. "Teori piring dan kerang". McGraw-Hill New York, 1959.
AEH Love, On getaran bebas kecil dan deformasi kerang elastis, Philosophical trans. dari Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N ° 17 p. 491-549.
Reddy, JN, 2007, Teori dan analisis pelat elastis dan kerang, CRC Press, Taylor dan Francis.
RD Mindlin, Pengaruh inersia berputar dan geser pada gerakan lentur isotropik, pelat elastis, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 p. 31-38.
E. Reissner dan M. Stein. Torsi dan lentur melintang dari pelat kantilever. Catatan Teknis 2369, Komite Penasihat Nasional untuk Aeronautics, Washington, 1951.

selamat datang dan terimakasih atas kunjungannya :)

welcome to the my blog

Kamis, 24 April 2014

tentang plat dan shell

Teori lempeng

Teori Kirchhoff-Cinta untuk pelat tipis

Bidang perpindahan

inat pada pertengahan permukaan pelat pelat badan kaku, $x_3$ adalah koordinat untuk arah ketebalan, $u ^ 0_1, u ^ 0_2$ adalah perpindahan dalam bidang pertengahan permukaan, dan $w ^ 0$ adalah perpindahan dari pertengahan permukaan di $x_3$ arah.

Hubungan regangan-perpindahan

Persamaan Equilibrium

Kondisi batas

Hubungan tegangan-regangan

Piring Kirchhoff isotropik dan homogen

Lentur murni

Pembebanan transversal

Piring Kirchhoff orthotropic dan homogen

Pembebanan transversal

Dinamika tipis pelat Kirchhoff

Persamaan Pemerintahan

Pelat isotropik

Teori Mindlin-Reissner untuk pelat tebal

Hubungan regangan-perpindahan

Persamaan Equilibrium

Kondisi batas

Hubungan konstitutif

Isotropik dan homogen piring Mindlin-Reissner

Hubungan konstitutif

Persamaan Pemerintahan

Teori Reissner-Stein untuk isotropik pelat kantilever

Referensi

Mengenai Saya

Arsip Blog

welcome to the my blog

Kamis, 24 April 2014

tentang plat dan shell

Teori lempeng

Teori Kirchhoff-Cinta untuk pelat tipis

Bidang perpindahan

inat pada pertengahan permukaan pelat pelat badan kaku, adalah koordinat untuk arah ketebalan, adalah perpindahan dalam bidang pertengahan permukaan, dan adalah perpindahan dari pertengahan permukaan di arah.

Hubungan regangan-perpindahan

Persamaan Equilibrium

Kondisi batas

Hubungan tegangan-regangan

Piring Kirchhoff isotropik dan homogen

Lentur murni

Pembebanan transversal

Piring Kirchhoff orthotropic dan homogen

Pembebanan transversal

Dinamika tipis pelat Kirchhoff

Persamaan Pemerintahan

Pelat isotropik

Teori Mindlin-Reissner untuk pelat tebal

Hubungan regangan-perpindahan

Persamaan Equilibrium

Kondisi batas

Hubungan konstitutif

Isotropik dan homogen piring Mindlin-Reissner

Hubungan konstitutif

Persamaan Pemerintahan

Teori Reissner-Stein untuk isotropik pelat kantilever

Referensi

inat pada pertengahan permukaan pelat pelat badan kaku, $x_3$ adalah koordinat untuk arah ketebalan, $u ^ 0_1, u ^ 0_2$ adalah perpindahan dalam bidang pertengahan permukaan, dan $w ^ 0$ adalah perpindahan dari pertengahan permukaan di $x_3$ arah.